Differenzen-t-Test

Author: Hans Lohninger

Beim Vergleich von Methoden und Verfahren, bei denen Daten verwendet werdem, die aus derselben Grundgesamtheit stammen, sind die zwei zu vergleichenden Proben nicht mehr länger unabhängig. Beispiele dazu: (1) Vergleich der Temperaturanzeige eines Geräts mit einem geeichten Thermometer (beide Messungen beruhen auf der selben Temperatur); (2) Vergleich des Jahresertrags einer Obstplantage in aufeinanderfolgenden Jahren (die Bäume bleiben ja die selben); (3) Der Einfluß von Alkohol auf die Reaktionsfähigkeit; jede Versuchsperson muss einen Reaktionszeittest im nüchternen Zustand und nach Konsumation eines 1/4 Weins machen (die Personen sind die selben).

Denken Sie zum Beispiel an den Vergleich von analytischen Methoden, die auf Umweltproben angewendet werden. Die Streuung zwischen den verschiedenen Proben ist möglicherweise größer als der Unterschied zwischen den individuellen Methoden. Wegen der großen gepoolten Varianz s_p² können wir zur Unterscheidung der beiden Methoden nicht den t-Test für unabhängige Proben verwenden. Wir können aber die gepaarten Differenzen d_i berechnen und d_i als neue Variable betrachten, die einer t-Verteilung folgt. Der Mittelwert und die Standardabweichung von d sind bzw. s_d; n_D ist die Anzahl der Paare. Abhängig von der Stichprobengröße n_D wenden wir den Ein-Stichprobentest basierend auf t-Werten an.

Voraussetzung für den Differenzen-t-Test: Die Verteilung der Differenzen ist normal⁽¹⁾ und die Differenzen sind intervallskaliert.

Das gepaarte Differenzenexperiment ist oft mächtiger, da es Unterschiede in den Stichproben eliminieren kann, die die Gesamtvarianz σ² anheben. Wenn Vergleiche zwischen Gruppen gemacht werden (mit ähnlichen experimentellen Einheiten), wird dies Blockbildung (engl. blocking) genannt. Das gepaarte Differenzenexperiment ist ein einfaches Beispiel eines randomisierten geblockten Experiments.

Ist die Normalverteilungsannahme für die Differenzen nicht erfüllt, kann der nicht-parametrische Wilcoxon-Rangsummentest für Versuchspläne mit gepaarten Differenzen verwendet werden.

(1)	Ein häufiger Fehler, der vor allem von Anfängern gemacht wird, ist, dass die Normalverteilung der einzelnen Stichproben untersucht wird und nicht die der Differenzen. Eine eingehendere Diskussion dazu findet sich in StatQuest.