Kolmogorov-Smirnov Einstichprobentest

Author: Hans Lohninger

Die Überprüfung, ob eine vorher festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung die Grundgesamtheit der in Frage kommenden Daten repräsentiert, ist oft ein Problem. Während der Chi-Quadrat-Test nur bei einer großen Anzahl von Daten (> 30) anwendbar ist, kann der Kolmogorow-Smirnow-Test (KS-Test) auch bei kleineren Probenumfängen verwendet werden. Es darf jedoch nicht vergessen werden, dass sowohl die Trennschärfe des Chi-Quadrat-Tests als auch die des KS-Tests sehr gering ist. Eine Alternative mit höherer Trennschärf stellt der Shapiro-Wilk-Test dar .

Beachten Sie: Der Kolmogorow-Smirnow-Ein-Stichprobentest sollte nicht mit dem Zwei-Stichprobentest verwechselt werden. Dieser testet, ob zwei unabhängige Stichproben von derselben Verteilung herrühren.

Das Ziel des KS-Tests ist es, zu überprüfen, ob die Stichprobe einer Zufallsvariablen zu einer vorher festgesetzten Verteilung gehört. Die Nullhypothese muss daher die Art der Verteilungsfunktion und ihre Parameter spezifizieren (die Nullhypothese besagt, dass die Stichprobe zur genannten Verteilung gehört). Die Alternativhypothese sagt aus, dass die angenommene Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der zugrunde liegenden Funktion nicht entspricht (Art der Funktion und/oder Parameter sind falsch). Das Prinzip des KS-Tests ist sehr einfach: Die maximale Differenz zwischen der angenommenen kumulativen Dichtefunktion und der zu untersuchenden Stichprobe wird verwendet, um zu entscheiden, ob die Stichprobe zur Verteilung gehört oder nicht.

Für den KS-Test wird vorausgesetzt, dass die Parameter der Referenzverteilung (Mittelwert und Standardabweichung im Fall der Normalverteilung) exakt bekannt sind. Diese Forderung ist in der Praxis selten erfüllt, da man meist die beiden Parameter aus der Stichprobe schätzt. In diesem Fall ist der KS-Test zu konservativ (d.h. das tatsächliche Signifikanzniveau ist niedriger als das vorgegebene, es wird die Nullhypothese also weniger oft abgelehnt als es theoretisch möglich wäre). Abhilfe schafft hier eine Änderung der kritischen Grenzen nach Lilliefors .

Benützen Sie das  DataLab , um den KS-Test zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme mit Ihren eigenen Daten durchzuführen.