Kurvenanpassung durch Splines

Author: Hans Lohninger

Kubische Splines repräsentieren eine allgemeine Klasse von Funktionen die bei vielen Interpolationen eingesetzt werden. Die grundlegende Idee dabei ist, ein kubisches Polynom so durch zwei Datenpunkte zu legen, dass an den Datenpunkten die erste und die zweite Ableitung kontinuierlich ist. Das angepasste Polynom ändert sich von Datenpunktpaar zu Datenpunktspaar, so dass bei n Datenpunkten n-1 Polynome zu berechnen sind. Die beiden Polynome, die sich auf einem Datenpunkt treffen, haben als gemeinsame Eigenschaft nicht nur den gleichen Funktionalwert, sondern weisen im Berührungspunkt auch die gleiche 1. und 2. Ableitung auf.

Weiters kann man das Konzept der Splines durch eine kleine Erweiterung auf geglättete Splines ausdehnen. Ein geglättetes Spline entartet zu einer einfachen linearen Regression wenn man den Glättungsfaktor auf ein Maximum setzt.

Nehmen wir an, wir haben n+1 Datenpunkte [x_i, y_i] mit i=0 bis n, und x₀ < x₁ < .... < x_n. Die Funktion S(x) wird als Kubisches Spline bezeichnet, falls es n kubische Polynome s_i(x) gibt, die die Koeffizienten a_i,0, a_i,1, a_i,2, a_i,3 aufweisen und folgende Bedingungen erfüllen:

• S(x) = S_k(x) = a_k,0 + a_k,1(x-x_k) + a_k,2(x-x_k)² + a_k,3(x-x_k)³ für x [x_k, x_k+1] und k=0,1,2...n-1
• Das Spline geht durch jeden Datenpunkt: S(x_k) = y_k für k=0,1, ... ,n
• Das Spline ergibt eine kontinuierliche Funktion: S_k-1(x_k) = S_k(x_k) für k=1,2,....n-1
• Das Spline erzeugt eine glatte Funktion: S'_k-1(x_k) = S'_k(x_k) für k=1,2,....n-1
• Die zweite Ableitung ist kontinuierlich: S"_k-1(x_k) = S"_k(x_k) für k=1,2,....n-1

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Bitte beachten Sie, dass es immer ein eindeutiges kubisches Spline gibt, das die Randbedingungen S"(x₀) = 0 and S"(x_n) = 0 erfüllt. Dieses Spline wird auch natürliches Spline genannt. Es entspricht der Kurve, die entsteht, wenn man einen flexiblen elastischen Stab durch alle Punkte legt und an den Endpunkten den Stab nicht weiter beeinflusst, so dass er sich auf die Verbiegungskräfte einstellen kann.