Vereinigungsmenge und Schnittmenge

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Betrachtet man Ereignisse und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, so findet man neben einfachen auch zusammengesetzte Ereignisse, die aus beliebig vielen Einzelereignissen bestehen können. Zusammengesetzte Ereignisse kann man als logische Kombination von einfachen Ereignissen betrachten, die man z.B. mit Venn-Diagrammen darstellen kann.

Die einfachsten Kombinationen sind die Vereinigungsmenge und die Schnittmenge, die einem logischen ODER bzw. einem logischen UND entsprechen:

Vereinigungsmenge

Als Vereinigungsmenge bezeichnet man die Menge aller Ereignisse die entweder zur Gruppe A gehören oder zur Gruppe B. Die Vereinigungsmenge entspricht dem logischen ODER und wird durch das Symbol dargestellt.

Schnittmenge

Als Schnittmenge bezeichnet man die Menge aller Ereignisse, die sowohl zur Gruppe A als auch zur Gruppe B gehören. Die Schnittmenge entspricht dem logischen UND und wird durch das Symbol dargestellt.

Beispiel: Betrachten wir das Spiel Roulette (die europäische Version mit einer Null):

Wieviele Zahlen bringen einen Gewinn, wenn man auf rot und die dritte Spalte setzt? Um das zu ermitteln müssen wir die Vereinigungsmenge des Ereignisses A (die Zahl ist rot) und des Ereignisses B (die Zahl steht in der dritten Spalte) bilden. A B enthält 22 Zahlen, die sich aus 18 roten Zahlen und 12 Zahlen in der dritten Spalte zusammensetzen. Klarerweise ist die Vereinigungsmenge kleiner als die Summe der Elemente der Mengen A und B, da einige Zahlen ja beiden Mengen angehören.

Ereignis	Elemente	Wahrscheinlichkeit
A	{1,3,5,7,9,12,14,16,18,19, 21,23,25,27,30,32,34,36}	18/37 = 0.4865
B	{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36}	12/37 = 0.3243
A B	{1,3,5,6,7,9,12,14,15,16,18,19, 21,23,24,25,27,30,32,33,34,36}	22/37 = 0.5946
Anmerkung:	Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit muss sich auf 37 Zahlen beziehen, da ja auch eine Null vorkommen kann.

Wieviele Zahlen gewinnen doppelt, wenn man genau so setzt wie im vorigen Beispiel? Um bei beiden Wetten zu gewinnen, müssen die Zahlen sowohl rot sein als auch in der rechten Spalte stehen. Die Zahl der Gewinnzahlen kann man durch Ermittlung der Schnittmenge berechnen: A B enthält 8 Zahlen.

Ereignis	Elemente	Wahrscheinlichkeit
A	{1,3,5,7,9,12,14,16,18,19, 21,23,25,27,30,32,34,36}	18/37 = 0.4865
B	{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36}	12/37 = 0.3243
A B	{3,9,12,18,21,27,30,36}	8/37 = 0.2162

Die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen zusammengesetzten Ereignisse lassen sich durch Abzählen und die Anwendung der Summenregel ermitteln. Für komplexere Aufgaben, bei denen ein Abzählen nicht mehr möglich ist kann man entsprechende Rechenregeln ableiten.