Kurvilineare Regression

Author: Hans Lohninger

Die einfache lineare Regression wurde dazu entwickelt, gerade Linien an Datenpunkte anzupassen. Manchmal kann die Beziehung zwischen zwei Variablen jedoch durch eine Kurve statt einer geraden Linie repräsentiert werden. Solche "nicht linearen" Beziehungen müssen nicht notwendigerweise nicht linear im mathematischen Sinn sein. Zum Beispiel könnte eine parabolische Beziehung durch eine (modifizierte) lineare Regression gut modelliert werden, weil eine Parabel durch eine lineare Gleichung dargestellt wird, zumindest was ihre Parameter betrifft. Manchmal werden solche Beziehungen "kurvilinear" genannt.

Hinweis:

Bitte beachten Sie, dass die Bezeichnung "nicht linear" eine Doppelbedeutung hat: Zum einen benutzen manche diese Bezeichnung, wenn sie an Kurven denken, die keine geraden Linien sind; zum anderen ist eine nicht lineare Beziehung im mathematischen Sinn eine Funktion, die die x- und y-Variable(n) durch eine oder mehrere nicht lineare Funktionen verbindet (wie der Kosinus). Weitere Details finden Sie hier.

Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Kurve (oder allgemein gesprochen eine n-dimensionale Hyperfläche) - im Gegensatz zu einer Linie - an die Daten anzupassen:

• Eine passende Regressionsformel ableiten, was aber beschwerlich sein kann und mathematisches Wissen erfordert.
• Linearisierung der Daten. Die lineare Regression wird angewendet, nachdem man die Daten in ein lineares Problem umgewandelt hat.
• Optimierungsalgorithmen einsetzen, um die Fehleroberfläche zu minimieren.
• Nicht lineare Modellierungstechniken verwenden, wie zum Beispiel neuronale Netze.

Die ersten beiden Verfahren verlangen, dass die Art der funktionalen Beziehung bekannt ist. In vielen Standardfällen ist die zweite Vorgangsweise die passende. Allerdings sei darauf hingewiesen, dass die so ermittelten Parameter nicht exakt jenen entsprechen, die man durch direkte Anwendung der Regressionsformel (Fall 1) erhalten würde.